数量关系
通用
代入排除法
适用题型：
年龄问题
余数问题
多位数
不定方程
不会做的
数字特性
1.奇偶特性
奇 ± 奇 = 偶
奇 ± 偶 = 奇
偶 ± 偶 = 偶
奇 × 奇 = 奇
奇 × 偶 = 偶
偶 × 偶 = 偶
适用题型：
- 知差求和，知和求差
- 2倍类 、平均分
- 不定方程
2.整除特性
一个数能被2（5）整除，末一位能被2（5）整除 一个数能被4（25）整除，末两位能被4（25）整除 一个数能被8（125）整除，末三位能被8（125）整除 一个数能被3（9）整除，其各位数字之和能被3（9）整除
3.比例倍数特性
好像用的少，自己要有敏感性（适用人数、桌子之类，像钱，重量之类的可以用小数的不能用）
若a:b=m:n（m、n互质，m:n不能继续约分） $$ {a \over b} = {m \over n} \ a = {m \over n}*b $$ 则：
a是m的倍数
b是n的倍数
a+b是m+n的倍数
a-b是m-n倍数 $$ {a \over a+b} = {m \over m+n} $$ 例：
班级男女比例为7:4
男生人数一定是 7 的倍数 女生人数一定是 4 的倍数 总人数一定是 11 的倍数 男女之差一定是 3 的倍数 男生人数是总人数的7/11
方程
小技巧 $$ {a \over b}={c \over d}={a+c \over b+d}={a-c \over a-d} $$
不定方程
1.尾数法
如：3x+10y=41
10乘任何数尾数一定是0
5乘任何数尾数一定是0或者5
2.倍数法
有两个是某个数的倍数，则剩下那个也一定是那个数的倍数
下面因为121是11倍数，11a也是11倍数，所以7b也一定是11倍数 $$ 11a+7b=121 \ 7b=11(11-a) $$
3.奇偶法
如：3x+4y=20
3x和4y必须得是偶数才能得到20这个偶数
4.代入法
工程问题
工程总=效率*时间
给定时间型
- 方法：
- 直接赋值工程总量为时间的最小公倍数（不是最小，直接给公倍数也没问题）
- 最小公倍数可以选最大的那个直接乘2、3、4、5，一般就出来了
效率制约型
- 甲:乙=2:3
- 提高2% 1:1.2=5:6
- 42台收割机...（每台效率都是一样的）
- 在原有基础上增长1.2倍。这里不是1.2，而是2.2（有陷阱）
- 某一部分工程，甲5天，乙3天；效率比就是甲:乙=3:5（考的少）
行程问题
平均速度：a*b/((a+b)/2)
基础公式
路程=速度*时间
72千米/时=20米/秒
108千米/时=30米/秒
等距离平均速度
$$ { \mathbf{V}_\text{平} } = {2 \times \mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 \over \mathbf{V}_1+\mathbf{V}_2} $$
- 上下坡
- 往返
- 前半程，后半程
相对速度型
流水行船
相遇追及
$$ { \mathbf{S}\text{相距} } = {(\mathbf{V}1 + \mathbf{V}2) \times t} $$ 
$$ { \mathbf{S}\text{追} } = {(\mathbf{V}\text{大} - \mathbf{V}\text{小}) \times t} $$ 两端相遇
相遇次数N与路程S的关系为：(2N-1)S=相遇所走路程
排列组合
排列
A(array)：有顺序
6个人去一个窗口排队，排列组合如下 $$ A^6_6=6!=6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 $$ 6个人选4个去一个窗口排队，排列组合如下 $$ A^4_6=6 \times 5 \times 4 $$
相邻捆绑法
7个人去一个窗口排队，其中两个人必须挨着
先当成6个人排，再两个挨着的再排，结果如下 $$ A^6_6 \times A^2_2 $$
不相邻插空法
6个人去一个窗口排队，其中两个人不能挨着
其余四人先排，排好后这个队伍会有5个空（每个人前后有个空），那两个不能挨着的在这5个空里选两个插入 $$ A^4_4 \times A^2_5 $$
插板法
n个相同物（n-1个空），m个人分（插m-1块板），至少分一个 $$ C^{m-1}_{n-1} $$
错位排列
$$ D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44 $$
组合
C(combination)：没顺序 $$ {C^3_6}={A^3_6 \over A^3_3} \ C^5_5=C^{10}{10}=C^m_m=1 \ C^7{10}=C^3_{10}=C^n_m=C^{m-n}_m $$
概率问题
$$ P=\text{满足条件的情况数} \over \text{总的情况数} $$
上面两个题目类型相同
分布乘法型
分步概率=满足条件的每个步骤概率之积
分类加法型
总体概率=满足条件的各种情况概率之和
逆向计算型
某事件的概率=1 - 该事件不发生的概率
经济利润问题
成本：100元
定价：150元
售价：150元
利率=利润/成本=50/100=50%（数量）
毛利率=利润/营收（资料）
最值问题
最不利构造
数列构造
特征：
最多（少）……最少（多）……
排名第……最多（少）……
多集合反向构造
特征：
多集合题目中，出现，至少……都……的情况下
策略：
反向，求和，作差
容斥问题
统计数据时，数据出现了重叠
解题原则：把重复的部分减去，变为一层
公式：
两者容斥：总数=a + b - 两者都有 + 都没有
三者容斥：
非标：总数=a + b + c - 只有两者 - 2 × 三者都有 + 都没有
标准：I=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+M
几何问题
周长
面积
体积
勾股定理
角度与三角形
相似三角形
等比缩放
